Question

定义函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.5]=1，[-1.3]=-2，当x∈[0，n）（n∈N^*）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数为a_n，则式子[

an+90

n

]的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，进而得到

an+90

n

，用基本不等式求解．

解答：解：根据题意：[x]=

0  x∈[0，1) 1  x∈[1，2)   n-1 x∈[n-1，n)

∴x[x]=

0  x∈[0，1) x  x∈[1，2)   (n-1)x  x∈[n-1，n)

∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，n-1
∴a_n=

n(n-1)

2

+1
∴

an+90

n

=

1

2

(n+

180

n

-1)，所以当n=13或14时，最小值为13．
故答案为：13

点评：本题主要通过取整函数来建立新函数，进而研究其定义域和值域．