Question

18．已知函数f（x）=ax³+bx²lnx，若f（x）在点（1，0）处的切线的斜率为2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的单调区间和最值．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，利用f（1）=0，f′（1）=2联立方程组求得a，b的值；
（2）求出原函数的导函数，得到函数在[$\frac{1}{e}$，e]上的单调区间，求出极值与端点处的函数值，则答案可求．

解答 解：（1）由f（x）=ax³+bx²lnx，得f′（x）=3ax²+2bxlnx+bx，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{3a+b=2}\end{array}\right.$，解得a=0，b=2．
∴f（x）=2x²lnx
（2）f′（x）=4xlnx+2x，
由f′（x）=0，得$x={e}^{-\frac{1}{2}}$，
当x∈$（{\frac{1}{e}，{e^{-\frac{1}{2}}}}）$时，f′（x）＜0，当x∈$（{{e^{-\frac{1}{2}}}，e}）$时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间为$（{\frac{1}{e}，{e^{-\frac{1}{2}}}}）$，单调递增区间为$（{{e^{-\frac{1}{2}}}，e}）$；
∵$f（\frac{1}{e}）=-\frac{2}{{e}^{2}}$，f（e）=2e²，$f（{e}^{-\frac{1}{2}}）=-\frac{1}{e}$．
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值为2e²，最小值为$-\frac{1}{e}$．

点评 本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，属中档题．