Question

9．已知P为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左支上一点，F₁，F₂分别是它的左右焦点，直线PF₂与圆：x²+y²=a²相切，切点为线段PF₂的中点，则该双曲线的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意，△PF₁F₂为直角三角形，PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2a，|PF₂|=|PF₁|+2a=4a，利用勾股定理，建立方程，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，△PF₁F₂为直角三角形，PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2a，|PF₂|=|PF₁|+2a=4a，
在直角△PF₁F₂中，4c²=4a²+16a²，
∴c²=5a²，
∴e=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，属于中档题．