Question

10、设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[（f（x）-f（-x）]＜0的解集为

（-1，0）∪（0，1）

．

Answer 1

分析：由函数奇偶性的性质，我们根据已知中奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，易判断函数f（x）在（-∞，0），（0，1），（-1，0），（0，+∞）上的符号，进而得到不等式x[（f（x）-f（-x）]＜0的解集．

解答：解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
则函数f（x）在（-∞，0）上也为增函数，
又∵f（1）=0
∴f（-1）=0
则当x∈（-∞，0）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）-f（-x）＜0
当x∈（-1，0）∪（0，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）-f（-x）＞0
则不等式x[（f（x）-f（-x）]＜0的解集为（-1，0）∪（0，1）
故答案为：（-1，0）∪（0，1）

点评：本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合应用，其中奇函数在对称区间上单调性相同，是解答本题的关键．