Question

已知向量

p

=(a-3，x)，

q

=(x+a，x)，f(x)=

p

•

q

，且m，n是方程f（x）=0的两个实根，
（1）设g（a）=m³+n³+a³，求g（a）的最小值；
（2）若不等式lnx-

b

x

＜x2在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围；
（3）对于（1）中的函数y=g（a），给定函数h（x）=c（xlnx-x³），（c＜0），若对任意的x₀∈[2，3]，总存在x₁∈[1，2]，使得g（x₀）=h（x₁），求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=x²+（a-3）x+a²-3a有两个实根，得到△≥0，解得a∈[-1，3]，又由题意

m+n=3-a mn=a2-3a

从而g（a）=m³+n³+a³=（m+n）[（m+n）²-3mn]+a³=3a³-9a²+27，a∈[-1，3]利用导数即可求得最小值为15．
（2）先将不等式lnx-

b

x

＜x2在x∈[1，+

∞

)上恒成立，转化为x2-lnx+

b

x

＞0恒成立，即b＞x（lnx-x²），构造令h（x）=x（lnx-x²），x∈[1，+∞）可得h'（x）=1+lnx-3x²，h′′（x）=

1

x

-6x，根据导函数符号与函数单调性的关系，及判断出函数h（x）的单调性，进而得到答案．
（3）由（1）和（2）的结论，我们易求出函数y=g（a）在区间[2，3]上的值域，及函数h（x）=c（xlnx-x³）在[1，2]的上的值域，再结合对任意的x₀∈[2，3]，总存在x₁∈[1，2]，使得g（x₀）=h（x₁），构造关于c的不等式组，解不等式组即可得到答案．

解答：解：（1）f（x）=x²+（a-3）x+a²-3a有两个实根，
所以△≥0，解得a∈[-1，3]
由题意

m+n=3-a mn=a2-3a

g（a）=m³+n³+a³=（m+n）[（m+n）²-3mn]+a³=3a³-9a²+27，a∈[-1，3]
g′（a）=9a（a-2）=0，解得a=0或2
g（0）=g（3）=27，g（-1）=g（2）=15
所以最小值为15．
（2）若不等式lnx-

b

x

＜x2在x∈[1，+

∞

)上恒成立，即x2-lnx+

b

x

＞0恒成立，
解得b＞x（lnx-x²）
令h（x）=x（lnx-x²），x∈[1，+∞）
则h'（x）=1+lnx-3x²，x∈[1，+∞）
则h′′（x）=

1

x

-6x，x∈[1，+∞）
∵h′′（x）=

1

x

-6x＜0在[1，+∞）恒成立
∴h'（x）=1+lnx-3x²，在区间[1，+∞）为减函数
则h'（x）≤h'（1）=-2＜0恒成立
∴h（x）=x（lnx-x²）在区间[1，+∞）递减
则h（x）≤h（1）=-1
故b＞-1
（3）由（1）得对任意的x₀∈[2，3]，g（x₀）∈[15，27]
由（2）得函数h（x）=c（xlnx-x³），（c＜0），在区间[1，2]单调递增
则h（1）=-c≤h（x）≤h（2）=c（2ln2-8）
若对任意的x₀∈[2，3]，总存在x₁∈[1，2]，使得g（x₀）=h（x₁），
则-c≤15且c（2ln2-8）≥27
解得：-15≤c≤

27

2ln2-8

点评：本小题主要考查函数恒成立问题、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想．属于中档题．