Question

如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=

3

，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）求二面角B-AC-D的大小．
（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）方法一：根据三垂线定理可得：作AH⊥面BCD于H，连DH．由长度计算可得：BHCD是正方形，所以DH⊥BC，则AD⊥BC．
方法二：证明异面直线垂直，也可以先证明直线与平面垂直：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC，所以BC⊥面AOD
（2）二面角的度量关键在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂线定理．作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角，再根据余弦定理即可求得cos∠BMN的大小．
（3）直线与平面所成的角，需先作出平面的垂线：设E是所求的点，作EF⊥CH于F，连FD．则EF∥AH，所以EF⊥面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角，则∠EDF=30°．

解答：解：（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．
AB⊥BD?HB⊥BD，又AD=

3

，BD=1
∴AB=

2

=BC=AC
∴BD⊥DC
又BD=CD，则BHCD是正方形，
则DH⊥BC∴AD⊥BC
方法二：取BC的中点O，连AO、DO
则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD
∴BC⊥AD
（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角，因为AB=AC=BC=

2

∵M是AC的中点，则BM=

6

2

，MN=

1

2

CD=

1

2

，BN=

1

2

AD=

3

2

，由余弦定理可求得cos∠BMN=

6

3

∴∠BMN=arccos

6

3

（3）设E是所求的点，作EF⊥CH于F，连FD．则EF∥AH，
∴EF⊥面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角，
则∠EDF=30°．
设EF=x，易得AH=HC=1，则CF=x，FD=

1+x2

，
∴tan∠EDF=

EF

FD

=

x

1+x2

=

3

3

解得x=

2

2

，
则CE=

2

x=1
故线段AC上存在E点，且CE=1时，ED与面BCD成30°角．

点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．