Question

1．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|AF|=6，且|BC|=2|BF|，则此抛物线方程为（　　）

• A． y²=4x
• B． y²=6x
• C． y²=8x
• D． y²=9x

Answer 1

分析 分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p值，进而可得方程．

解答 解：设A，B在准线上的射影分别为A′，B′，则
由于|BC|=2|BB′|，则直线l的斜率为$\sqrt{3}$，
故|AC|=2|AA′|=12，从而|BF|=2，|AB|=8．
故$\frac{p}{|AA′|}=\frac{|CF|}{|CA|}$=$\frac{1}{2}$，即p=3，
从而抛物线的方程为y²=6x．
故选：B．

点评 本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．