Question

设集合A=[0，

1

2

)，B=[

1

2

，1]，函数f(x)=

x+ 1 2 ，x∈A 2(1-x)，x∈B

，若x₀∈A，且f[f（x₀）]∈A，则

1

x0

的取值范围是

[2，4）

．

Answer 1

分析：先求出f（x₀），然后按f（x₀）∈A，f（x₀）∈B两种情况进行讨论求出f[f（x₀）]，再根据f[f（x₀）]∈A可得x₀的范围，进而求得

1

x0

的取值范围．

解答：解：∵x₀∈A，∴f（x₀）=x0+

1

2

，
（1）当x0+

1

2

∈A，即-

1

2

≤x₀＜0时，f[f（x₀）]=f（x0+

1

2

）=x₀+1，
又f[f（x₀）]∈A，所以0≤x₀+1＜

1

2

，解得-1≤x₀＜-

1

2

，此时无解；
（2）当x0+

1

2

∈B，即0≤x₀≤

1

2

时，f[f（x₀）]=f（x0+

1

2

）=2[1-（x0+

1

2

）]=1-2x₀，
又f[f（x₀）]∈A，所以0≤1-2x₀＜

1

2

，解得

1

4

＜x0≤

1

2

，
又x₀∈A，∴

1

4

＜x0＜

1

2

，
故2＜

1

x0

＜4，
故答案为：（2，4）．

点评：本题考查分段函数的求值，考查分类讨论思想，考查学生的运算能力，属中档题．