Question

某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产里x（单位：吨）满足函数关系式C=10000+20x，每日的销售额R（单位：元）与日产量x满足函数关系式
R=

- 1 30 x3+ax2 +290x，0＜x＜120 20400，x＞120

已知每日的利润y=R-C，且当x=30时y=-100．
（I）求a的值；
（II）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（I）根据每日的利润y=R-C建立函数关系式，然后根据当x=30时y=-100可求出a的值；
（II）当0＜x＜120时，利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最大值，当x≥120时，根据一次函数的单调性求出最大值，比较可求出所求．

解答：解：（I）由题意可得：y=

- 1 30 x3+ax2 +270x-10000，0＜x＜120 10400-20x，x≥120

∵当x=30时y=-100
∴-100=-

1

30

×30³+a×30²+270×30-10000
解得 a=3
（II）当0＜x＜120时，y=-

1

30

×x³+3x²+270x-10000
y′=-

1

10

x²+6x+270
由y′=-

1

10

x²+6x+270=0可得：x=90或x=-30（舍）
所以当x∈（0，90）时，原函数是增函数，当x∈（90，120）时，原函数是减函数
所以当x=90时，y取最大值14300
当x≥120时，y=10400-20x≤8000
所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元．

点评：本题主要考查了分段函数的最值，以及利用导数研究函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．