Question

（2012•绵阳一模）若函数f（x）=-x³+bx在区间（O，1）上单调递增，且方程f（x）=0的根都在区间[-2，2]上，则实数b的取值范围为（　　）

A．[O，4]

B．[3，+∞）

C．[2，4]

D．[3，4]

Answer 1

分析：把函数在区间（0，1）的单调递增转化成导函数在（0，1）恒大于0，然后求出方程f（x）=0的根，使根都在区间[-2，2]内即可得答案．

解答：解：∵函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，
∴其导数f'（x）=-3x²+b＞0在（0，1）上恒成立
即b＞3x²在（0，1）上恒成立，可得b≥3
而f（x）=-x³+bx=-x（x²-b）=0的三个根为0，±

b

要使方程f（x）=0的根都在区间[-2，2]内
只需

b

≤2，解得b≤4
综上可得：3≤b≤4
故选D

点评：本题考查函数与方程的综合运用，以及利用导数研究函数的单调性，属基础题．