精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
18.已知函数f(x)=x2-ax+a(x∈R),在定义域内有且只有一个零点,存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立. 若n∈N*,f(n)是数列{an}的前n项和.设各项均不为零的数列{cn}中,所有满足ck•ck+1<0的正整数k的个数称为这个数列{cn}的变号数,令cn=1-$\frac{4}{{a}_{n}}$,则数列{cn}的变号数是3.

分析 (1)由函数f(x)在定义域内有且只有一个零点,可得△=0,解得a=0或a=4.当a=0时,不满足条件舍去.综上,得a=4,f(x)=x2-4x+4,Sn=n2-4n+4,利用当n=1时,a1=S1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1即可得出.
(2)由题设cn=$\left\{\begin{array}{l}{-3,n=1}\\{1-\frac{4}{2n-5},n≥2}\end{array}\right.$,当n≥3时,cn+1-cn>0,可得:当n≥3时,数列列{cn}递增,分别求出c1,c2,c3,c4,c5,即可得出变号数.

解答 解:(1)∵函数f(x)在定义域内有且只有一个零点,
∴△=a2-4a=0,解得a=0或a=4.
当a=0时,函数f(x)=x2在(0,+∞)上递增,
故不存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.
综上,得a=4,f(x)=x2-4x+4,
∴Sn=n2-4n+4,
当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-4n+4-[(n-1)2-4(n-1)+4]=2n-5.
∴an=$\left\{\begin{array}{l}{1,n=1}\\{2n-5,n≥2}\end{array}\right.$.
(2)由题设cn=$\left\{\begin{array}{l}{-3,n=1}\\{1-\frac{4}{2n-5},n≥2}\end{array}\right.$,
当n≥3时,cn+1-cn=$\frac{4}{2n-5}$-$\frac{4}{2n-3}$=$\frac{8}{(2n-5)(2n-3)}$>0,
∴当n≥3时,数列列{cn}递增,c4=-$\frac{1}{3}$<0,
由$1-\frac{4}{2n-5}$>0,解得n≥5.
可知a4a5<0.
即n≥3时,有且只有1个变号数;
又c1=-3,c2=5,c3=-3,
即c1c2<0,c2c3<0,
∴此处变号数有2个.
综上可得:数列{cn}共有3个变号数,即变号数为3.
故答案为:3.

点评 本题考查了二次函数的性质、“裂项求和”、递推关系的应用、新定义“变号数”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

8.对于函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx,x∈[0,2]}\\{\frac{1}{2}f(x-2),x∈(2,+∞)}\end{array}\right.$,有下列5个结论:
①f($\frac{1}{2}$)+f($\frac{5}{2}$)+…f($\frac{1}{2}$+2k)=2-$\frac{1}{{2}^{k}}$,其中k∈N;
②函数f(x)的单调递增区间为[$\frac{3}{2}$+2k,$\frac{5}{2}$+2k](k∈N)
③函数y=f(x)-ln(x-2)仅有一个零点;
④?x1,x2∈[1,+∞)都有|f(x1)-f(x2)|≤$\frac{3}{2}$恒成立;
⑤对任意x>0,不等式f(x)≤$\frac{m}{x}$恒成立,则实数m的取值范围为($\frac{5}{4}$,+∞)
其中正确的结论的序号为①③④.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

9.某校200位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这200名学生物理成绩的平均分.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

6.设曲线y=f(x)在原点与y=sinx相切.求极限$\underset{lim}{n→∞}$${n}^{\frac{1}{2}}$$\sqrt{f(\frac{2}{n})}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

13.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=lny,其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4,则c=(  )
A.0.3B.e0.3C.4D.e4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

3.已知函数f(x)=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$,
(1)求f(1),f(2),f($\frac{1}{2}$)的值;  
(2)证明f(a)+f($\frac{1}{a}$)=1
(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)+f($\frac{1}{2}$)+f($\frac{1}{3}$)+…+f($\frac{1}{100}$)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

10.将函数y=sin(2x+φ)(φ>0)的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{8}$个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的最小值为(  )
A.$\frac{3π}{4}$B.$\frac{π}{4}$C.$\frac{π}{8}$D.$\frac{3π}{8}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

7.抛物线y2=4x上的一点A到焦点的距离为5,则点A到x轴的距离是4.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

8.集合{0,2,3}的真子集共有(  )
A.5个B.6个C.7个D.8个

查看答案和解析>>

同步练习册答案