Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M是A₁B的中点．
（Ⅰ）在线段B₁C₁上是否存在一点N，使得MN⊥平面A₁BC？若存在，找出点N的位置幷证明；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求平面A₁AB和平面A₁BC所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）根据题意CA、CB、CC₁两两互相垂直
如图：以C为原点，CA、CB、CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
设AC=BC=CC₁=a，则A₁（a，0，a），M(

a

2

，

a

2

，

a

2

)，B（0，a，0），B₁（0，a，a），A（a，0，0），C₁（0，0，a），
假设在B₁C₁上存在一点N，使MN⊥平面A₁BC，设N（0，y，a）
所以

BA1

=（a，-a，a），

CA1

=（a，0，a），

MN

=(-

a

2

，y-

a

2

，

a

2

)
由

MN

•

BA1

=0，

MN

•

CA1

=0，得：y=

a

2

∴N在线段B₁C₁的中点处（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知MN⊥平面A₁BC，则平面A₁BC的一个法向量为

n

=(1，0，-1)分
取AB中点D，连接CD，易证CD⊥平面A₁AB
∴可得面A₁AB的一个法向量

n1

=(

1

2

，

1

2

，0)（8分）
cos?

n

，

n1

＞=

n • n1

| n || n1 |

=

1 2

2 • 2 2

=

1

2

所以面A₁AB和面A₁BC所成的角为

π

3

．（12分）