Question

5．（1）已知一次函数f（x）满足f[f（x）]=4x+3，求f（x）；
（2）已知函数f（x）满足3f（x）+2f（-x）=2x+5，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）因为函数为一次函数，可以用待定系数法求函数解析式，即设f（x）=kx+b的形式；
（2）运用函数方程法求解，将原式中的x全部换成-x，再联立方程求出f（x）．

解答 解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），
则f[f（x）]=k（kx+b）+b=k²x+kb+b，
∴k²x+kb+b=4x+3，
则$\left\{\begin{array}{l}{k^2}=4\\ kb+b=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=2\\ b=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=-3\end{array}\right.$，
∴f（x）=2x+1，或f（x）=-2x-3；
（2）因为3f（x）+2f（-x）=2x+5，-------①
将①中的x换成-x得，
3f（-x）+2f（x）=-2x+5，--------------②
联立①②解得：f（x）=2x+1，
所以，f（x）=2x+1．

点评 本题主要考查了函数解析的求解及常用方法，涉及待定系数法和函数方程法，属于中档题．