Question

3．设函数f（x）=|x+m|．
（1）若不等式f（1）+f（-2）≥5成立，求实数m的取值范围；
（2）当x≠0时，证明：f（$\frac{1}{x}$）+f（-x）≥2．

Answer 1

分析 （1）由f（1）+f（-2）≥5得|m+1|+|m-2|≥5，然后分三种情况去绝对值号得出不等式解出；
（2）使用绝对值不等式消去m，利用基本不等式证明．

解答 解：（1）∵f（1）+f（-2）≥5，
∴|m+1|+|m-2|≥5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+1＜0}\\{-m-1+2-m≥5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤m＜2}\\{m+1+2-m≥5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{m+1+m-2≥5}\end{array}\right.$，
解得m≤-2，或m≥3．
∴m的取值范围是（-∞，2]∪[3，+∞）．
（2）当x≠0时，f（$\frac{1}{x}$）+f（-x）=|$\frac{1}{x}$+m|+|-x+m|≥|$\frac{1}{x}$+m+x-m|=|x+$\frac{1}{x}$|=|x|+|$\frac{1}{x}$|≥2．
当且仅当x=±1时取“=“．
∴f（$\frac{1}{x}$）+f（-x）≥2．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的证明，消去m是关键．