Question

11．已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-bc，a=3，则△ABC的面积的最大值为（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． 9
• C． $\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 由余弦定理可得：3=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，从而解得bc≤3，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵a²=b²+c²-bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$，
又∵a=3，
∴由余弦定理可得：9=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥bc，解得：bc≤9，（当且仅当b=c时等号成立）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$×9=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$（当且仅当b=c时等号成立）．
故选：D．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．