Question

设函数，．
（1）当时，函数取得极值，求的值；
（2）当时，求函数在区间[1，2]上的最大值；
（3）当时，关于的方程有唯一实数解，求实数的值．

Answer 1

（1）；（2）时，取最大值；（3）．

试题分析：（1）先求出，因为当时，函数取得极值，所以，从而求出；（2）根据判断函数在区间[1，2]上的单调性，从而判断出最大值点，求出最大值；（3）由题意可知，方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则函数图像与轴有且只有一个交点，根据导数判断函数的单调性，可知函数存在极小值即为最小值，最小值为，从中求出．
试题解析：
（1）的定义域为，所以．因为当时，函数取得极值，所以，所以．经检验，符合题意．
（2），令得，
因为，所以，即在[1，2]上单调递增，
所以时，取最大值．
（3）因为方程有唯一实数解，
所以有唯一实数解，
设，则，
令，因为，，
所以（舍去），，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以当时，取最小值，则  即，
所以，因为，所以（*），设函数，
因为当时，是增函数，所以至多有一解．
因为，所以方程（*）的解为，
即，解得．