Question

9．已知函数f（x）=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|．
（1）指出f（x）=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|的基本性质（两条即可，结论不要求证明），并作出函数f（x）的图象；
（2）关于x的方程f²（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{x}，x≤-1}\\{-2x，-1＜x＜0}\\{2x，0＜x＜1}\\{\frac{2}{x}，x≥1}\end{array}\right.$，判断函数的性质，再作其图象即可；
（2）结合右图可知方程x²+mx+n=0有两个不同的根x₁，x₂，且x₁=2，x₂∈（0，2）；从而可得故x²+mx+n=（x-2）（x-x₂），从而解得．

解答 解：（1）化简可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{x}，x≤-1}\\{-2x，-1＜x＜0}\\{2x，0＜x＜1}\\{\frac{2}{x}，x≥1}\end{array}\right.$，
故f（x）是偶函数，且最大值为2；
作其图象如右图，
（2）∵关于x的方程f²（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，
∴结合右图可知，
方程x²+mx+n=0有两个不同的根x₁，x₂，
且x₁=2，x₂∈（0，2）；
故x²+mx+n=（x-2）（x-x₂）
=x²-（2+x₂）x+2x₂，
故m=-（2+x₂），
故-4＜m＜-2．

点评 本题考查了分段函数的应用及绝对值函数的应用，同时考查了数形结合的思想应用．