Question

一束光线从点F₁（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F₂（1，0）．
（1）求P点的坐标；
（2）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆C的方程；
（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出F₁关于l的对称点为F，进而利用F₁的坐标求得

n

m+1

的值，同时把F₁F的中点代入直线方程求得n和m的关系式，联立方程求得n和m，进而求得F的坐标．
（2）根据椭圆的定义可求得2a=PF₁+PF₂=PF+PF₂进而利用两点间的距离公式求得a，根据c的值求得b，则椭圆的方程可得．
（3）假设存在两定点，并设出坐标，分别表示出QT和QS的斜率表示出k，把椭圆的方程代入，对于x∈（-

2

，

2

）恒成立联立方程求得k，s和t，求得两定点的坐标．

解答：解：（1）设F₁关于l的对称点为F（m，n），则

n

m+1

=-

1

2

且2•

m-1

2

-

n

2

+3=0，
解得m=-

9

5

，n=

2

5

，即F(-

9

5

，

2

5

)．
由

x+7y-1=0 2x-y+3=0

，解得P(-

4

3

，

1

3

)．
（2）因为PF₁=PF，根据椭圆定义，得2a=PF₁+PF₂=PF+PF₂=FF₂
=

(- 9 5 -1)2+( 2 5 -0)2

=2

2

，所以a=

2

．又c=1，
所以b=1．所以椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（3）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），
使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k_Qt•k_Qs=k（k为定值），
即

y

x-s

•

y

x-t

=k，将y2=1-

x2

2

代入并整理得
(k+

1

2

)x2-k(s+t)x+kst-1=0（*）
．由题意，（*）式对任意x∈（-

2

，

2

）恒成立，
所以

k+ 1 2 =0 k(x+t)=0 kst-1=0

，
解之得

k=- 1 2 s= 2 t=- 2

或

k=- 1 2 s=- 2 t= 2

．
所以有且只有两定点（

2

，0），（-

2

，0），
使得k_Qt•k_Qs为定值-

1

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和推理能力．