Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，m），$\overrightarrow{b}$=（m-1，2），
（1）若（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）∥$\overrightarrow{a}$，求m的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（m+5，2m+2），再由向量共线的坐标表示，计算即可得到m的值；
（2）由$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线．运用向量的数量积的坐标表示和共线的坐标表示，计算即可得到所求范围．

解答 解：（1）由向量$\overrightarrow{a}$=（3，m），$\overrightarrow{b}$=（m-1，2），
可得2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（m+5，2m+2），又（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）∥$\overrightarrow{a}$，
可得m（m+5）=6（m+1），解得m=3或-2；
（2）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线．
由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0，即有3（m-1）+2m＞0，解得m＞$\frac{3}{5}$，
由$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，可得m（m-1）=6，解得m=3或-2．
综上可得m＞$\frac{3}{5}$且m≠3．

点评 本题考查向量的共线的坐标表示和向量的夹角为锐角的条件，注意运用向量的数量积大于0，且不共线，属于中档题和易错题．