【题目】下图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是矩形ABCD,上部是圆弧AB,该圆弧所在的圆心为O,为了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E,F在圆弧AB上,G,H在弦AB上).过O作,交AB 于M,交EF于N,交圆弧AB于P,已知(单位:m),记通风窗EFGH的面积为S(单位:)
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设,将S表示成的函数;
(ii)设,将S表示成的函数;
(2)试问通风窗的高度MN为多少时,通风窗EFGH的面积S最大?
【答案】(1)详见解析;(2)4.5;
【解析】
试题(1)在Rt△OFN中用表示出NF和ON;用x表示出ON,再利用勾股定理求出NF;(2)用导数求函数的最值;
试题解析:(1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故OM=3.5.
(i)在Rt△ONF中,NF=OFsinθ=10sinθ,ON=OFcosθ=10cosθ.
在矩形EFGH中,EF=2MF=20sinθ,FG=ON-OM=10cosθ-3.5,
故S=EF×FG=20sinθ(10cosθ-3.5)=10sinθ(20cosθ-7).
即所求函数关系是S=10sinθ(20cosθ-7),0<θ<θ0,其中cosθ0=.
(ii)因为MN=x,OM=3.5,所以ON=x+3.5.
在Rt△ONF中,NF===.
在矩形EFGH中,EF=2NF=,FG=MN=x,
故S=EF×FG=x.
即所求函数关系是S=x,0<x<6.5.
(2)方法一:选择(i)中的函数模型:
令f(θ)=sinθ(20cosθ-7),
则f ′(θ)=cosθ(20cosθ-7)+sinθ(-20sinθ)=40cos2θ-7cosθ-20.
由f ′(θ)=40cos2θ-7cosθ-20=0,解得cosθ=,或cosθ=-.
因为0<θ<θ0,所以cosθ>cosθ0,所以cosθ=.
设cosα=,且α为锐角,
则当θ∈(0,α)时,f ′(θ)>0 ,f(θ)是增函数;当θ∈(α,θ0)时,f ′(θ)<0 ,f(θ)是减函数,
所以当θ=α,即cosθ=时,f(θ)取到最大值,此时S有最大值.
即MN=10cosθ-3.5=4.5m时,通风窗的面积最大.
方法二:选择(ii)中的函数模型:
因为S=,令f(x)=x2(351-28x-4x2),
则f ′(x)=-2x(2x-9)(4x+39).
因为当0<x<时 ,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当<x<时,f ′(x)<0,f(x)单调递减,
所以当x=时,f(x)取到最大值,此时S有最大值.
即MN=x=4.5m时,通风窗的面积最大.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在长方中,,,E为的中点,以为折痕,把折起到的位置,且平面平面.
(1)求证:;
(2)在棱上是否存在一点P,使得平面,若存在,求出点P的位置,若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《九章算术》卷五《商功》中有如下叙述“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈“刍甍”指的是底面为矩形的对称型屋脊状的几何体,“下广三丈”是指底面矩形宽三丈,“袤四丈”是指底面矩形长四丈,“上袤二丈”是指脊长二丈,“无宽”是指脊无宽度,“高一丈”是指几何体的高为一丈.现有一个刍甍如图所示,下广三丈,袤四丈,上袤三丈,无广,高二丈,则该刍甍的外接球的表面积为_______________平方丈.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解某冷饮店的经营状况,随机记录了该店月的月营业额(单位:万元)与月份的数据,如下表:
(1)求关于的回归直线方程;
(2)若在这样本点中任取两点,求恰有一点在回归直线上的概率.
附:回归直线方程中,
,.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关,现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表:
温度x/℃ | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
产卵数y/个 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
经计算得:
,,线性回归模型的残差平方和,,
其中分别为观测数据中的温度和产卵数,
(1)若用线性回归模型,求y关于x的回归方程(精确到0.1);
(2)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为,且相关指数.
①试与1中的回归模型相比,用说明哪种模型的拟合效果更好.
②用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该用哪种药用昆虫的产卵数(结果取整数)
附:一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为,;相关指数.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,边长为4的正方形中,半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动(包含端点A,C,D),P是圆Q上及其内部的动点,设,则的取值范围是_____________.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com