Question

（本题满分14分）

　　如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。

　　(I)证明 平面；

　　(II)证明平面EFD；

　　(III)求二面角的大小。

 

Answer 1

【答案】

 

方法一：

　　(I)证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。

　　底面ABCD是正方形，点O是AC的中点

　　在中，EO是中位线，。

　　而平面EDB且平面EDB，

　　所以，平面EDB。

　(II)证明：底在ABCD且底面ABCD，

　　 ① 　　同样由底面ABCD，得

　　底面ABCD是正方形，有平面PDC

　　而平面PDC， ②　　　　 ………………………………6分

　　由①和②推得平面PBC 　而平面PBC，

　　又且，所以平面EFD

(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角

　　由(II)知， 设正方形ABCD的边长为，则

　　 在中，

　　 　在中，

　　 所以，二面角的大小为

 

　　方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设

　　(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。 依题意得

　　底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 　故点G的坐标为且

　　

　　。这表明。

　　而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

 

　　(II)证明：依题意得。又故

　　　

　　由已知，且所以平面EFD。

 

　　(III)解：设点F的坐标为则

　　

　　从而所以

　　

　　由条件知，即

　　解得 。

　　点F的坐标为且

　　

　　

　　即，故是二面角的平面角。

　　且

　　

 

 

 

【解析】略