Question

（本小题满分14分）

设数列{_n}的首项₁=1，前n项和S_n满足关系式：3tS_n－（2t+3）S_n－1=3t(t＞0，n=2，3，4……)。

(Ⅰ)求证：数列{_n}是等比数例；

(Ⅱ)设数列{_n}的公比为ƒ (t),作数列{b_n}，使b1=1，bn＝ƒ( )(n=2,3,4……)，求数列{b_n}的通项b_n；

(Ⅲ)求和：b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－…+b_2n-1b_2n－b_2nb2_n-1.

Answer 1

（本题满分14分）

解：（1）由S₁==1，S₂=1+代入已知等式中，得

3t(1+)－(2t+3)=3t………………………………………………1分

解得  =, =1  ∴  可看作=.………………2分

由已知：3tS_n－(2t+3)S_n-1=3t,①

3tS_n-1－(2t+3)S_n-2=3t.②…………………………………3分

①－②得

                       3t_n－(2t+3)_n-1=0.

∴= , n=2,3,4，……… 

所以{_n}是首项为1，公比为的等比数列………………………5分

（2）由ƒ ( t ) = = + ,得……………………………………6分

     b_n= ƒ ( )= + b_n-1  即  b_n－b_n-1= ,

所以，{b_n}是首项为1，公差为的等差数列。

因为b_n=1+ (n-1) = ;…………………………………………8分

（3）由b_n= ，可知{b_2n-1}和{b_2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，

于是b_2n= ，………………………………………………………10分

∴b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－b₄b₅+…+b_2n-1b_2n－b_2nb_2n-1

= b₂(b₁－b₃)+b₄(b₃－b₅)+…+b_2n(b_2n-1－b_2n+1)

=－(b₂+b₄+…+b_2n)

=－·(＋)

=－(2n²+3n).   ………………………………………………………14分