Question

方程（a²+1）x²-2ax-3=0的两根x₁，x₂满足|x₂|＜x₁（1-x₂）且0＜x₁＜1，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，）
B．（1+，+∞）
C．（-，1-）∪（1+，+∞）
D．（-，+∞）

Answer 1

【答案】分析：根据方程根的个数与判别式之间的关系证明△＞0恒成立，由题意判断出另一个根的范围，再由f（1）＞0求出a的范围，利用f（0）＜0进一步确定两个根的关系，再由韦达定理求出a范围，再取交集．
解答：解：∵|x₂|＜x₁（1-x₂），∴x₁（1-x₂）＞0，又∵0＜x₁＜1，∴x₂＜1
设f（x）=（a²+1）x²-2ax-3，∵方程有两根，∴△=4a²+12（a²+1）＞0恒成立，
则f（1）=a²-2a-2＞0，解得a＞1+或a＜1-；
∵f（0）=-3，∴x₂＜0＜x₁＜1，
则|x₂|＜x₁（1-x₂）可化简为：x₁+x₂＞x₁x₂，利用韦达定理得＞-
解得a＞-．
∴实数a的取值范围是：（-，1-）∪（1+，+∞）
故选C．
点评：本题考查了一元二次方程的解法，对于含有参数的方程，借助于判别式的符号以及韦达定理、根的范围对应的函数值的符号，进行求解．