Question

（2013•湛江一模）如图，已知点M₀（x₀，y₀）是椭圆C：

y2

2

+x2=1上的动点，以M₀为切点的切线l₀与直线y=2相交于点P．
（1）过点M₀且l₀与垂直的直线为l₁，求l₁与y轴交点纵坐标的取值范围；
（2）在y轴上是否存在定点T，使得以PM₀为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
（参考定理：若点Q（x₁，y₁）在椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，则以Q为切点的椭圆的切线方程是：

y1y

a2

+

x1x

b2

=1(a＞b＞0)．

Answer 1

分析：（1）先求切线的斜率，可得直线l₁的方程，确定l₁与y轴交点纵坐标，即可求得l₁与y轴交点纵坐标的取值范围；
（2）确定P的坐标，利用以PM₀为直径的圆恒过点T，结合向量知识，即可求得结论．

解答：解：（1）由椭圆得：y=

2(1-x2)

，y'=-2x(2-2x2)-

1

2

切线的斜率为：k=

-2x0

2-2x02

，
所以，直线l₁的方程为：y-y0=

2-2x02

2x0

(x-x0)，
所以l₁与y轴交点纵坐标为：y=

2-2x02

-

2-2x02

2

=

2-2x02

2

因为-1≤x₀≤1，所以，0≤x02≤1，0≤2-2x02≤2，
所以，当切点在第一、二象限时，l₁与y轴交点纵坐标的取值范围为：0≤y≤

2

2

，
则利用对称性可知l₁与y轴交点纵坐标的取值范围为：-

2

2

≤y≤

2

2

．
（2）依题意，可得∠PTM₀=90°，设存在T（0，t），M₀（x₀，y₀）
由（1）得点P的坐标（

1-y0

x0

，2），
由

PT

•

M0T

=0可得（0-

1-y0

x0

，t-2）•（-x₀，t-y₀）=0，
∴1-y₀+（t-2）（t-y₀）=0，
∴y₀（1-t）+（t-1）²=0
∴t=1
∴存在点T（0，1）满足条件．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的运算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．