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若函数f(x)在[0,1]上满足:对于任意的s,t∈[0,1],λ>0,都有
f(s)+λf(t)
1+λ
<f(
s+λt
1+λ
)
,则称f(x)在[0,1]上为凸函数.在三个函数f1(x)=x+1,f2(x)=ex-1,f3(x)=lg
x+1
中,在[0,1]上是凸函数的有
f3(x)=lg
x+1
f3(x)=lg
x+1
(写出您认为正确的所有函数).
分析:根据凸函数的定义:对于任意的s、t∈[0,1],λ>0,都有
f(s)+λf(t)
1+λ
<f(
s+λt
1+λ
)
,可得它的几何意义是函数函数图象在[0,1]上的形状上凸的,如图所示.由此将三个函数图象与此定义加以对照,可得正确答案.
解答:解:根据凸函数的定义,可得
∵对于任意的s、t∈[0,1],λ>0,都有
f(s)+λf(t)
1+λ
<f(
s+λt
1+λ
)

∴对于自变量x=
s+λt
1+λ
,函数值f(
s+λt
1+λ
)
要大于点A(s,f(s))与点B(t,f(t))连线段上的相应点的纵坐标
f(s)+λf(t)
1+λ
.由此可得函数在[0,1]上的函数图象是上凸的,如图所示.

∵函数f1(x)=x+1的图象是一条直线,函数f2(x)=ex-1的图象是一条下凹的曲线,
而函数f3(x)=lg
x+1
的图象是一条上凸的曲线,
∴函数f3(x)=lg
x+1
的在[0,1]上是凸函数.
故答案为:f3(x)=lg
x+1
点评:本题给出凸函数的定义,要求我们从三个函数中找出符合定义的函数.着重考查了基本初等函数的图象作法及其应用等知识,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=ln(x+1)-
x
a(x+1)

(1)若函数f(x)在[0,+∞)内为增函数,求正实数a的取值范围.
(2)当a=1时,求f(x)在[-
1
2
,1]上的最大值和最小值;
(3)试利用(1)的结论,证明:对于大于1的任意正整数n,都有
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
<lnn.

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,使得|f(x)|≤M成立,则称f(x) 是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=4-x+p•2-x+1,g(x)=
1-q•2x
1+q•2x

(Ⅰ)当p=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;
(Ⅱ)若q∈(0,
2
2
]
,函数g(x)在[0,1]上的上界是H(q),求H(q)的取值范围;
(Ⅲ)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数p的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
3
sinxcosx+cos2x+a
(a为常数).
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期,并指出其单调减区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在[0,
π
2
]上恰有两个x的值满足f(x)=2,试求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x)如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数f(x)在[0,1]上是以3为上界的有界函数,求m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=ln(3-x)+ax+1.
(1)若函数f(x)在[0,2]上是单调递增函数,求实数a的取值范围;
(2)求函数f(x)在[0,2]上的最大值.

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