Question

已知函数f(x)=

1

2

sin2x(

1

tan x 2

-tan

x

2

)+

3

2

cos2x．
（1）求f（x）的单调的递减区间；
（2）若f(x)=

1

2

，求x的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x+

π

3

），令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调的递减区间．
（2）由f(x)=

1

2

，可得sin（2x+

π

3

）=

1

2

，故 2x+

π

3

=2kπ+

π

6

，或2x+

π

3

=2kπ+

5π

6

，k∈z，由此求得x的值．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

1

2

sin2x(

1

tan x 2

-tan

x

2

)+

3

2

cos2x=

1

2

sin²x•

cosx

1 2 sinx

+

3

2

cos2x=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin（2x+

π

3

），
令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 kπ+

π

12

≤2x+

π

3

≤kπ+

7π

12

，k∈z，
故f（x）的单调的递减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈z．
（2）由f(x)=

1

2

，可得sin（2x+

π

3

）=

1

2

，故 2x+

π

3

=2kπ+

π

6

，或2x+

π

3

=2kπ+

5π

6

，k∈z．
解得 x=kπ-

π

12

，或 x=kπ+

π

4

，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调减区间，根据三角函数的值求角，属于中档题．