Question

定理：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．应用上述定理证明：
（1）；     
（2）设，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀
（3）设f（x）=xⁿ（n∈N^*）．若对任意的实数x，y，恒成立，求n所有可能的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令f（x）=lnx，则，又，即可证得不等式；
（2）在中令n=1，2，3，…，2007，并将各式相加，即可得到结论；
（3）当n=1和2时，成立，当n≥3时，不妨设x=2，y=0，则已知条件化为：2^n-1=n，当n≥3时，2^n-1=（1+1）^n-1=C_n-1+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1≥2+C_n-1¹=n+1＞n，因此n≥3时方程2^n-1=n无解，则 当n≥3时，等式不恒成立，从而求出n的可能值．
解答：证明：（1）令f（x）=lnx，，x＜ξ＜y…（1分）
（注1：只要构造出函数f（x）=lnx即给1分）
故，又…（*）…（2分）
即…（3分）
（2）由条件可知则
在中令n=1，2，3，…，2007，并将各式相加得
即T₂₀₁₁-1＜ln2008＜T₂₀₁₀
（3）解：当n=1时，显然成立．…（9分）
当n=2时，．…（10分）
下证当n≥3时，等式不恒成立．
不妨设x=2，y=0，则已知条件化为：2^n-1=n…（11分）
当n≥3时，2^n-1=（1+1）^n-1=C_n-1+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1≥2+C_n-1¹=n+1＞n…（13分）
因此n≥3时方程2^n-1=n无解．故n的所有可能值为1和2
点评：本题主要主要考查了数列与函数的综合应用，同时考查了二项式定理和不等式的证明，属于中档题．