【题目】传说《西游记》中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”.作为兵器,“如意金箍棒”威力巨大,且只有孙悟空能让其大小随意变化。假定孙悟空在使用“如意金箍棒”与各路妖怪打斗时,都将其变化为底面半径为4至10之间的圆柱体。现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕,并降伏了此妖怪,此时“如意金箍棒”的底面半径为10,长度为.在此基础上,孙悟空使“如意金箍棒”的底面半径以每秒1匀速缩短,同时长度以每秒40匀速增长,且在这一变化过程中,当“如意金箍棒”的底面半径为8时,其体积最大.
(1)求在这一变化过程中,“如意金箍棒”的体积随时间(秒)变化的解析式,并求出其定义域;
(2)假设在这一变化过程中,孙悟空在“如意金箍棒”体积最小时,将其定型,准备迎战下一个妖怪。求此时“如意金箍棒”的底面半径。
【答案】(1) ,定义域为 ;(2)4
【解析】
(1)根据时间,写出“如意金箍棒”的底面半径和长度,由此计算出体积的解析式,并根据半径的范围求得的取值范围,也即定义域.利用导数求得的单调区间和极大值,根据此时“如意金箍棒”的底面半径列方程,解方程求得的值,进而求得解析式.(2)由(1)中求得的单调区间,求得的最小值,并求得此时“如意金箍棒”的底面半径.
解:(1)“如意金箍棒”在变化到秒时,其底面半径为,长度为
则有,得:
时,(秒),由知,当时,取得极大值
所以,解得()
所以,定义域为
(2)由(1)得:
所以当时,,当时,
所以在区间上为增函数,在区间上为减函数
则的最小值或;
又
所以当(秒)时,“如意金箍棒”体积最小,
此时,“如意金箍棒”的底面半径为()
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【题目】为了解国产奶粉的知名度和消费者的信任度,某调查小组特别调查记录了某大型连锁超市年与年这两年销售量前名的五个奶粉的销量(单位:罐),绘制出如下的管状图:
(1)根据给出的这两年销量的管状图,对该超市这两年品牌奶粉销量的前五强进行排名(由高到低,不用说明理由);
(2)已知该超市年奶粉的销量为(单位:罐),以,,这年销量得出销量关于年份的线性回归方程为(,,年对应的年份分别取),求此线性回归方程并据此预测年该超市奶粉的销量.
相关公式:.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设曲线交于点,曲线与轴交于点,求线段的中点到点的距离.
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【题目】有200人参加了一次会议,为了了解这200人参加会议的体会,将这200人随机号为001,002,003,…,200,用系统抽样的方法(等距离)抽出20人,若编号为006,036,041,176, 196的5个人中有1个没有抽到,则这个编号是( )
A. 006B. 041C. 176D. 196
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【题目】已知A(-2,0),B(2,0)为椭圆C的左、右顶点,F为其右焦点,P是椭圆C上异于A,B的动点,且△APB面积的最大值为。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D,当点P在椭圆上运动时,求证:以BD为直径的圆与直线PF恒相切.
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