Question

17．已知圆C的方程为（x+1）²+（y-3）²=4，过点（1，0）的直线l的斜率为k，设圆C上到l的距离为l的点的个数z，求z关于k的函数关系式．

Answer 1

分析 对k分类讨论，即可求出z关于k的函数关系式．

解答 解：k不存在时，直线l：x=1，圆上有两个点到l的距离为l，故z=2；
k存在时，设直线l的方程：y=k（x-1），即kx-y-k=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-k-3-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=-2±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此时z=3
圆心到直线的距离d=$\frac{|-k-3-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，∴k=-$\frac{5}{12}$，此时z=2
圆心到直线的距离d=$\frac{|-k-3-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，∴k=0或$\frac{12}{5}$，此时z=1；
-2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜k＜-2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，z=3，0＜k＜$\frac{12}{5}$，z=0
∴z=$\left\{\begin{array}{l}{0，0＜k＜\frac{12}{5}}\\{1，k=0或\frac{12}{5}}\\{2，k=-\frac{5}{12}或不存在}\\{3，-2-\frac{2\sqrt{3}}{3}≤k≤-2+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．