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已知a,b,c为正整数,方程ax2+bx+c=0的两实根为x1,x2(x1≠x2),且|x1|<1,|x2|<1,则a+b+c的最小值为
11
11
分析:依题意
△=b2-4ac>0
x1+x2=-
b
a
<0
x1x2=
c
a
>0
从而可得x1,x2∈(-1,0),则有
b2-4ac>0
f(-1)=a-b+c>0
x1x2=
c
a
<1.
b2>4ac
b<a+c
c<a.
结合a,b,c为正整数可求a+b+c得最小值
解答:解:依题意,可知
△=b2-4ac>0
x1+x2=-
b
a
<0
x1x2=
c
a
>0
从而可知x1,x2∈(-1,0),
所以有
b2-4ac>0
f(-1)=a-b+c>0
x1x2=
c
a
<1.
b2>4ac
b<a+c
c<a.
又a,b,c为正整数,取c=1,则a+1>b⇒a≥b,
所以a2≥b2>4ac=4a⇒a>4.从而a≥5,所以b2>4ac≥20.
又b<5+1=6,所以b=5,因此a+b+c有最小值为11.
下面可证c≥2时,a≥3,从而b2>4ac≥24,所以b≥5.
又a+c>b≥5,所以a+c≥6,所以a+b+c≥11.
综上可得,a+b+c的最小值为11.
故答案为:11
点评:本题主要考查了一元二次方程的根的分布问题的求解,主要应用了方程的根与系数的关系及,还考查了一定的运算推理的能力.
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(1)当r=1时,试用k表示点B的坐标;
(2)当r=1时,试证明:点B一定是单位圆C上的有理点;(说明:坐标平面上,横、纵坐标都为有理数的点为有理点.我们知道,一个有理数可以表示为
qp
,其中p、q均为整数且p、q互质)
(3)定义:实半轴长a、虚半轴长b和半焦距c都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”.
当0<k<1时,是否能构造“整勾股双曲线”,它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成?若能,请尝试探索其构造方法;若不能,试简述你的理由.

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[  ]

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(3)定义:实半轴长a、虚半轴长b和半焦距c都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”.
当0<k<1时,是否能构造“整勾股双曲线”,它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成?若能,请尝试探索其构造方法;若不能,试简述你的理由.

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