Question

已知a，b，c为正整数，方程ax²+bx+c=0的两实根为x₁，x₂（x₁≠x₂），且|x₁|＜1，|x₂|＜1，则a+b+c的最小值为

11

．

Answer 1

分析：依题意

△=b2-4ac＞0 x1+x2=- b a ＜0 x1x2= c a ＞0

从而可得x₁，x₂∈（-1，0），则有

b2-4ac＞0 f(-1)=a-b+c＞0 x1x2= c a ＜1.

⇒

b2＞4ac b＜a+c c＜a.

结合a，b，c为正整数可求a+b+c得最小值

解答：解：依题意，可知

△=b2-4ac＞0 x1+x2=- b a ＜0 x1x2= c a ＞0

从而可知x₁，x₂∈（-1，0），
所以有

b2-4ac＞0 f(-1)=a-b+c＞0 x1x2= c a ＜1.

⇒

b2＞4ac b＜a+c c＜a.

又a，b，c为正整数，取c=1，则a+1＞b⇒a≥b，
所以a²≥b²＞4ac=4a⇒a＞4．从而a≥5，所以b²＞4ac≥20．
又b＜5+1=6，所以b=5，因此a+b+c有最小值为11．
下面可证c≥2时，a≥3，从而b²＞4ac≥24，所以b≥5．
又a+c＞b≥5，所以a+c≥6，所以a+b+c≥11．
综上可得，a+b+c的最小值为11．
故答案为：11

点评：本题主要考查了一元二次方程的根的分布问题的求解，主要应用了方程的根与系数的关系及，还考查了一定的运算推理的能力．