Question

【题目】平面直角坐标系中，过椭圆：右焦点的直线交于，两点，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2），为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先求出右焦点坐标为，结合离心率可得，求出后可得椭圆的方程.

（2）联立直线的方程和椭圆方程后可求的坐标，从而可求.设的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，消去后利用弦长公式可得，从而可得，结合的范围可求面积的最大值.

解：（1）椭圆的右焦点为，则.

离心率，则.

故，所以的方程为.

（Ⅱ）由，解得或，因此.

设直线的方程为，设，.

由得.

，故.

又的交点在之间，故.

因为直线的斜率为1，

所以.

又四边形的面积，

当时，取得最大值，最大值为，所以四边形面积的最大值为.