Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，斜率为1的直线l与圆C相交于A，B两点，AB的中点为M，O为坐标原点，若OM=

1

2

AB，则直线l的方程为

 

．

Answer 1

分析：先利用OM=

1

2

AB推断出AO⊥BO，设出直线的方程代入圆的方程整理后，可利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用直线方程求得y₁y₂，进而利用x₁x₂+y₁y₂=0，求得b，则直线的方程可得．

解答：解：∵OM=

1

2

AB
∴AO⊥BO，
设出直线方程为y=x+b，代入圆的方程整理得
2x²+4x+b²+4b-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴AO⊥BO，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即

b2+4b-4

2

+（x₁+b）（x₂+b）=0，求得b=-4或1
∴直线的方程为：x-y+1=0或x-y-4=0．
故答案为：x-y+1=0或x-y-4=0．

点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．一般是利用平面几何的性质，采用数形结合的方法来解决问题呢．