Question

“数列{a_n}为常数列”是“数列{a_n}既是等差数列又是等比数列”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：先证明必要性：若{a_n}是常数列，如果a_n≠0，可得数列{a_n}是等差数列，若{a_n}既是等差数列又是等比数列，根据等比数列和等差数列的性质进行求解；

解答：解：数列{a_n}为常数列，如果a_n=0，则数列{a_n}不是等比数列；
显然数列{a_n}是以a为首项，以0为公差的等差数列，且{a_n}是以a为首项，以1为公比的等比数列．
若{a_n}既是等差数列又是等比数列，则对任意n∈N^*都有：

2an+1=an+an+2 a 2 n+1 =anan+2

可得(

an+an+2

2

)2=anan+2，整理得（an-an+2）2=0，
∴a_n=a_n+2=a_n+1．
∴{a_n}是常数列．
∴“数列{a_n}既是等差数列又是等比数列”⇒数列{a_n}为常数列”
∴“数列{a_n}为常数列”是“数列{a_n}既是等差数列又是等比数列”的必要不充分条件，
故选B；

点评：此题主要考查等比数列和等差数列的性质及其应用，利用特殊值法进行求解，是一道基础题；