Question

1．若直线ax+by+1=0（a、b＞1）过圆x²+y²+8x+2y+1=0的圆心，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 12
• C． 16
• D． 20

Answer 1

分析 求出圆的圆心坐标，代入直线方程，得到1=4a+b的关系式，然后通过”1“的代换利用基本不等式求解即可．

解答 解：圆x²+y²+8x+2y+1=0的圆心（-4，-1）在直线ax+by+1=0上，
所以-4a-b+1=0，即 1=4a+b代入，
得 $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（4a+b）=8+$\frac{b}{a}$+$\frac{16a}{b}$≥16（a＞0，b＞0当且仅当4a=b时取等号）
则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为16，
故选C．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，基本不等式求解函数的最值，考查转化思想以及计算能力．