Question

如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．
（Ⅰ）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
（Ⅱ）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．

Answer 1

分析：由于PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC的中点，AC=16，PA=PC=10，所以PO、OB、OC是两两垂直的三条直线，
因此可以考虑用空间向量解决：连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
对于（I），只需证明向量FG与平面BOE的一个法向量垂直即可，而根据坐标，平面的一个法向量可求，从而得证；
对于（II），在第一问的基础上，课设点M的坐标，利用FM⊥平面BOE求出M的坐标，而其道OA、OB的距离就是点M 横纵坐标的绝对值．

解答：证明：（I）如图，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F（4，0，3），（3分）
由题意得，G（0，4，0），因

OB

=(8，0，0)，

OE

=(0，-4，3)，
因此平面BOE的法向量为

n

=(0，3，4)，

FG

=(-4，4，-3）
得

n

•

FG

=0，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG∥平面BOE．（6分）
（II）设点M的坐标为（x₀，y₀，0），则

FM

=(x0-4，y0，-3)，
因为FM⊥平面BOE，
所以有

FM

∥

n

，因此有x0=4，y0=-

9

4

，
即点M的坐标为(4，-

9

4

，0)（8分）
在平面直角坐标系xoy中，△AOB的内部区域满足不等式组

x＞0 y＜0 x-y＜8

，
经检验，点M的坐标满足上述不等式组，
所以在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，
由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为4，

9

4

．（12分）

点评：本题考查直线与平面的平行的判定以及距离问题，建立了空间坐标系，所有问题就转化为向量的运算，使得问题简单，解决此类问题时要注意空间向量的使用．