Question

若不等式x²+3x＞ax-4对于满足0≤x≤1的实数x恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：x=0时容易得到对于a∈R满足原不等式成立，x≠0时，即0＜x≤1，由原不等式得a＜x+

4

x

+3，令f（x）=x+

4

x

+3，通过求f′（x），根据f′（x）的符号可判断出函数在（0，1]上是减函数，所以f（1）=8是f（x）的最小值，所以a＜8．

解答： 解：①x=0时，原不等式变成0＞-4，该不等式成立，此时a∈R；
②x≠0时，由原不等式得：a＜x+

4

x

+3；
(x+

4

x

+3)′=1-

4

x2

=

x2-4

x2

，∵0＜x≤1，∴x²-4＜0，(x+

4

x

+3)′＜0；
∴函数x+

4

x

+3在（0，1]上单调递减，所以x=1时，该函数在（0，1]上取最小值8；
∴a＜8；
综上得a的取值范围是（-∞，8）．
故答案为：（-∞，8）．

点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，根据函数单调性求函数的最小值．