Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中点．
（1）求AC₁与平面B₁BCC₁所成角的正切值；
（2）求证：AC₁∥平面B₁DC；
（3）已知E是A₁B₁的中点，点P为一动点，记PB₁=x．点P从E出发，沿着三棱柱的棱，按照E→A₁→A的路线运动到点A，求这一过程中三棱锥P-BCC₁的体积表达式V（x）．

Answer 1

分析：（1）由直三棱柱的性质证明∠AC₁B为AC₁与平面B₁BCC₁所成角，在直角三角形中求出此角的正切值．
（2）设B₁C的中点为F，由三角形中位线的性质可得，DF∥AC₁，从而证明AC₁∥平面B₁DC．
（3）设PB₁=x，△BCC₁的面积的值易求，当点P从E点出发到A₁点时，找出棱锥的高，计算体积；当点P从A₁点运动到A点，找出棱锥的高，计算体积．

解答：解：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁B⊥面ABC，
∴B₁B⊥AB．又∵AB⊥BC，∴AB⊥面BCC₁B₁．（2分）
连接BC₁，则∠AC₁B为AC₁与平面B₁BCC₁所成角．（3分）
依题设知，BC₁=2

2

，在Rt△ABC₁中，tan∠AC1B=

AB

BC1

=

2

2 2

=

2

2

.（5分）
（2）如图，连接DF，在△ABC₁中，∵D、F分别为AB、BC₁，
的中点，

∴DF∥AC₁，又∵DF?平面B₁DC，AC₁?平面B₁DC，
∴AC₁∥平面B₁DC．（10分）
（3）PB₁=x，S△BCC1=2.
当点P从E点出发到A₁点，即x∈[1，2]时，由（1）同理可证PB₁⊥面BB₁C₁C，
∴VP-BCC1=

1

3

s△BCC1×PB1=

2x

3

.
当点P从A₁点运动到A点，即x∈[2，2

2

]时，
VP-BCC1=

1

3

S△BCC1×AB=

4

3

．
∴三棱锥P-BCC₁的体积表达式V(x)=

2x 3 ，x∈[1，2] 4 3 ，x[2，2 2 ].

（14分）

点评：本题考查线与面成的角、线面平行的性质，椎体体积的求法，体现分类讨论的数学思想．