Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n=4a_n-4（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，T_n=$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$，求使T_n＞$\frac{λ}{n+2}$对任意n∈N⁺恒成立的实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用a_n与S_n的关系式：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n＞1}\end{array}\right.$，将n换为n-1，两式相减，得到a_n与a_n-1的关系式，根据等比数列的定义即得通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简c_n，运用裂项相消法求出Tn，然后运用参数分离法，得到λ＜（n+2）（1-$\frac{1}{n+1}$），判断出右边数列的单调性，求出最小值，只需λ小于最小值即可．

解答 解：（I）令n=1，由S₁=a₁，3S₁=4a₁-4可得a₁=4，
∵3S_n=4a_n-4，∴当n＞1时，3S_n-3S_n-1=（4a_n-4）-（4a_n-1-4），
∴3a_n=4a_n-4a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=4，
∴数列{a_n}是以a₁=4为首项，公比为4的等比数列，
∴an=4n=22n；
（Ⅱ）c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=2+4+…+2（n-1）+2n=n（n+1），
$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，
由T_n＞$\frac{λ}{n+2}$对任意n∈N⁺恒成立，
即实数λ＜（n+2）（1-$\frac{1}{n+1}$）恒成立；
设d_n=（n+2）（1-$\frac{1}{n+1}$）=n+1-$\frac{1}{n+1}$在n≥1递增，
即有n=1时，取得最小值，且为2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
即有λ＜$\frac{3}{2}$．
则实数λ的取值范围是（-∞，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查数列的a_n与S_n的关系式及应用，考查数列的求和方法：裂项相消法，同时常用的分离参数法，通过构造数列d_n，判断它的单调性，求出最值，从而解决问题，这一思想应认真掌握．