Question

已知f（x）为幂函数，且过点（2，

2

）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f²（x）-af（x）-a+1=0有两个不相等实数根，求实数a的范围．

Answer 1

考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设f（x）=x^α（α为常数），把点（2，

2

）代入即可得出．
（2）方程f²（x）-af（x）-a+1=0化为x-a

x

-a+1=0，令

x

=t≥0，则g（t）=t²-at-a+1=0，由于上述方程有两个不相等实数根，可得

△=a2-4(1-a)≥0 a＞0 1-a≥0

，解得即可．

解答： 解：（1）设f（x）=x^α（α为常数），
∵

2

=xα，解得α=

1

2

，
∴f（x）=

x

（x≥0）．
（2）方程f²（x）-af（x）-a+1=0化为x-a

x

-a+1=0，
令

x

=t≥0，
则g（t）=t²-at-a+1=0，
由于上述方程有两个不相等实数根，
∴

△=a2-4(1-a)≥0 a＞0 1-a≥0

，解得2

2

-2≤a≤1．
∴实数a的范围是2

2

-2≤a≤1．

点评：本题考查了幂函数的定义、一元二次方程与一元二次不等式的解法、“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．