Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求a₁和a₂的值；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（3）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）∵a_n是S_n与2的等差中项
∴S_n=2a_n-2∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2
a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂=4
（2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
又S_n-S_n-1=a_n，n≥2
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，
∴=2（n≥2），即数列{a_n}是等比数列，∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，∴b_n=2n-1，
（3）∵c_n=（2n-1）2ⁿ
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³++（2n-1）2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³++（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹
因此：-T_n=1×2+（2×2²+2×2³++2×2ⁿ）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
即：-T_n=1×2+（2³+2⁴++2ⁿ⁺¹）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6
分析：（1）先利用a_n是S_n与2的等差中项把1代入即可求a₁，再把2代入即可求a₂的值；
（2）利用S_n=2a_n-2，可得S_n-1=2a_n-1-2，两式作差即可求数列{a_n}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；对于数列{b_n}，直接利用点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，代入得数列{b_n}是等差数列即可求通项；
（3）先把所求结论代入求出数列{c_n}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和．
点评：本题考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．考查计算能力．