Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右两个焦点分别是F₁，F₂，P是它左支上的一点，P到左准线的距离为d．
（1）若y=

3

x是已知双曲线的一条渐近线，是否存在P点，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比数列？若存在，写出P点坐标，若不存在，说明理由；
（2）在已知双曲线的左支上，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比数列的P点存在时，求离心率e的取值范围．

Answer 1

分析：（1）假设存在点P（x₀，y₀）满足题中条件，根据渐近线方程求得a和b的关系，进而求得a和c的关系求得e；进而根据

|PF 1|

d

求得|PF₂|=2|PF₁|，求得准线方程，表示出|PF₁|和|PF₂|，根据双曲线的定义可知|PF₁|=-（a+ex₀），|PF₂|=a-ex₀，进而求得x₀，代入双曲线方程求得y₀，则P点坐标可得．
（2）根据双曲线的定义可知|PF₁|=ed，|PF₂|=|PF₁|+2a=ed+2a，进而根据d，|PF₁|，|PF₂|成等比数列推断（ed）²=ed²+2ad，将e=

c

a

和P的坐标代入根据x₁≤-a，求得 a²+2ac-c²≥0整理后可求得离心率e的范围．

解答：解：（1）假设存在点P（x₀，y₀）满足题中条件．
∵双曲线的一条渐近线为y=

3

x，∴

b

a

=

3

，b=

3

a，∴b²=3a²，c²-a²=3a²，e=

c

a

=2．
由

|PF 1|

d

=2得，
|PF₂|=2|PF₁|①
∵双曲线的两准线方程为x=±

a2

c

，
∴|PF₁|=|2x₀+2

a2

c

|=|2x₀+a|，|PF₂|=|2x₀-

a2

c

|=|2x₀-a|．
∵点P在双曲线的左支上，
∴|PF₁|=-（a+ex₀），|PF₂|=a-ex₀，代入①得：a-ex₀=-2（a+ex₀），
∴x₀=-

3a

2

，代入双曲线方程得y₀=±

15 a

2

．
∴存在点P使d、|PF1|、|PF2|成等比数列，点P的坐标是（-

3a

2

，±

15 a

2

）．
（2）|PF₁|=ed，
∵d，|PF₁|，|PF₂|成等比数列
∴（ed）²=ed²+2ad  由（1）得x₁=

(a+c)a 2

ac-c2

，将e=

c

a

和P的坐标代入．．
因为x₁≤-a．整理可得 a²+2ac-c²≥0
两边同除c²．得e²-2e-1≤0．所以1-

2

＜e＜

2

+1
∵e＞1
∴e∈（1，1+

2

）

点评：本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生综合分析问题的能力．