Question

已知椭圆C：的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切．
（Ⅰ）求曲线D的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的△APM？①点M在椭圆C上；②点O为APM的重心．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（若三角形ABC的三点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则其重心G的坐标为（，））

Answer 1

【答案】分析：（I）设P（x，y），由椭圆C的方程可得F（1，0），由题意可得以PF为直径的圆的圆心，利用两点间的距离公式得到，化简即可；
（II）不存在．可用反证法证明．若这样的三角形存在，由题可设，由条件知点M在椭圆上可得，由三角形的重心定理可得，及点A（-2，0），代入化简即可得到x₂，判断即可．
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），由题知F（1，0），所以以PF为直径的圆的圆心，
则，
整理得y²=4x，为所求．
（Ⅱ）不存在，理由如下：
若这样的三角形存在，由题可设，
由条件①知，
由条件②得，又因为点A（-2，0），
所以即，
故，
解之得x₂=2或（舍），
当x₂=2时，解得P（0，0）不合题意，
所以同时满足两个条件的三角形不存在．
点评：本题考查了椭圆及抛物线的定义、标准方程及其性质、反证法、重心定理、向量的运算性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．