Question

【题目】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AP=2CD=2，M是棱PB上一点．
（Ⅰ）若BM=2MP，求证：PD∥平面MAC；
（Ⅱ）若平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角B﹣AC﹣M的余弦值为 ，求 的值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连结BD交AC于点O，连结OM．
因为 AB∥CD，AB=2CD，所以 ．
因为 BM=2MP，所以 ．所以 ．
所以OM∥PD．
因为 OM平面MAC，PD平面MAC，
所以 PD∥平面MAC．
（Ⅱ）因为 平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥AB，
平面PAD∩平面ABCD=AD，AB平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD．
因为PA平面PAD，所以AB⊥PA．
同理可证：AD⊥PA．
因为 AD平面ABCD，AB平面ABCD，AD∩AB=A，
所以PA⊥平面ABCD．
解：（Ⅲ）分别以边AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
由AB=AD=AP=2CD=2，
得A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，1，0），D（2，0，0），P（0，0，2），
则 ， ．
由（Ⅱ）得：PA⊥平面ABCD．
所以 平面ABCD的一个法向量为 ．
设 （0≤λ≤1），即 ．所以 ．
设平面AMC的法向量为 ，
则 ，即
令x=λ﹣1，则y=2﹣2λ，z=﹣2λ．所以 ．
因为 二面角B﹣AC﹣M的余弦值为 ，
所以 ，解得 ．
所以 的值为 ．


【解析】（Ⅰ）连结BD交AC于点O，连结OM，推导出OM∥PD，由此能证明PD∥平面MAC．（Ⅱ）推导出AB⊥PA，AD⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD．（Ⅲ）分别以边AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．