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    已知点P为椭圆
    x2
    20
    +
    y2
    15
    =1    上一点，A、B为椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1上不同的两点，且
    OP
    =2
    OA
    +
    OB
    ，若OA、OB所在的直线的斜率为k1、k2，则k1•k2=
    -
    3
    4
    -
    3
    4
    ．
    分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．利用点与椭圆的关系可得
    x
    2
    1
    4
    +
    y
    2
    1
    3
    =1    ，
    x
    2
    2
    4
    +
    y
    2
    2
    3
    =1    ，
    x
    2
    0
    20
    +
    y
    2
    0
    15
    =1    ．再利用向量的运算
    OP
    =2
    OA
    +
    OB
    ，可得
    x0=2x1+x2
    y0=2y1+y2
    ，代入点P满足的椭圆方程即可得出．
    解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．
    则
    x
    2
    1
    4
    +
    y
    2
    1
    3
    =1    ，
    x
    2
    2
    4
    +
    y
    2
    2
    3
    =1    ，
    x
    2
    0
    20
    +
    y
    2
    0
    15
    =1    ．
    ∵
    OP
    =2
    OA
    +
    OB
    ，∴
    x0=2x1+x2
    y0=2y1+y2
    ，代入上述方程得
    (2x1+x2)2
    20
    +
    (2y1+y2)2
    15
    =1    ，
    ∴
    4
    5
    (
    x
    2
    1
    4
    +
    y
    2
    1
    3
    )+
    1
    5
    (
    x
    2
    2
    4
    +
    y
    2
    2
    3
    )    +
    4
    5
    (
    1
    4
    x1x2+
    1
    3
    y1y2)=1    ，
    ∴
    4
    5
    +
    1
    5
    +
    4
    5
    (
    1
    4
    x1x2+
    1
    3
    y1y2)=1    ，
    得
    y1y2
    x1x2
    =-
    3
    4
    ．
    故答案为-
    3
    4
    ．
    点评：熟练掌握点与椭圆的关系、向量的运算与相等、斜率的计算公式等是解题的关键．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆方程为C：
    x2
    2
    +y2    =1，它的左、右焦点分别为F1、F2．点P（x0，y0）为第一象限内的点．直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
    （1）求椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；
    （2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2．试找出使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0成立的条件（用k1、k2表示）．
    （3）又已知点E为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，直线F2E与椭圆C的交点G在y轴的左侧，且满足
    EG
    =2
    F2E
    ，求p的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•湖北模拟）已知点P（x0，y0）是椭圆E：
    x2
    2
    +y2=1    上任意一点x0y0≠1，直线l的方程为
    x0x
    2
    +y0y=1
    （I）判断直线l与椭圆E交点的个数；
    （II）直线l0过P点与直线l垂直，点M（-1，0）关于直线l0的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•嘉定区三模）如图，已知椭圆
    x2
    2
    +y2=1    的左右焦点分别为F1、F2，椭圆的下顶点为A，点P是椭圆上任意一点，，圆M是以PF2为直径的圆．
    （1）若圆M过原点O，求圆M的方程；
    （2）当圆M的面积为
    π
    8
    时，求PA所在直线的方程；
    （3）写出一个定圆的方程，使得无论点P在椭圆的什么位置，该定圆总与圆M相切．请写出你的探究过程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足
    HP
    •
    PM
    =0    ，
    PM
    =-
    3
    2
    MQ
    ．
    （1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
    （2）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l与l'，l与（1）中的轨迹C交于A、B两点，l'与（1）中的轨迹C交于D、E两点，求四边形ADBE面积S的最小值；
    （3）将（1）中的曲线C推广为椭圆：
    x2
    2
    +y2=1    ，并将（2）中的定点取为焦点F（1，0），求与（2）相类似的问题的解．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆方程为C：
    x2
    2
    +y2    =1，它的左、右焦点分别为F1、F2．点P（x0，y0）为第一象限内的点．直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
    （1）求椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；
    （2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2．试找出使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0成立的条件（用k1、k2表示）．
    （3）又已知点E为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，直线F2E与椭圆C的交点G在y轴的左侧，且满足
    EG
    =2
    F2E
    ，求p的最大值．

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