Question

（19）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上.记CD=2x，梯形面积为S.

（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；

（Ⅱ）求面积S的最大值.

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy（如图），则点C的横坐标为x.

点C的纵坐标y满足方程（y≥0），

解得y=2（0＜x＜r）.

S=（2x+2r）·2

=2（x+r）·，

其定义域为｛x|0＜x＜r｝.

（Ⅱ）记f（x）=4（x+r）²（r²-x²），0＜x＜r，

则f′（x）=8（x+r）²（r-2x）.

令f′（x）=0，得x=r.

因为当0＜x＜时，f′（x）＞0；当＜x＜r时，f′（x）＜0，所以f（r）是f（x）的最大值.

因此，当x=r时，S也取得最大值，最大值为，

即梯形面积S的最大值为.