Question

【题目】若方程|x2﹣2x﹣1|﹣t=0有四个不同的实数根x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， 且x1＜x2＜x3＜x4 ， 则2（x4﹣x1）+（x3﹣x2）的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（4 ，8+2 ）
【解析】解：如图，由|x2﹣2x﹣1|﹣t=0得到：t=|（x﹣1）2﹣2|，则0＜t＜2． ∴2＜2+t＜4.0＜2﹣t＜2．
∴4 ＜4 ＜8，0＜2 ＜2 ，
∴4 ＜4 +2 ＜8+2 ．
∵方程|x2﹣2x﹣1|﹣t=0有四个不同的实数根x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x1＜x2＜x3＜x4 ，
∴x1+x4=x2+x3=2，x1x4=﹣1﹣t，x2x3=﹣1+t，
∴2（x4﹣x1）+（x3﹣x2）
=2 +
=2 +
=4 +2 ，
∴4 ＜2（x4﹣x1）+（x3﹣x2）＜8+2 ．
故答案是：（4 ，8+2 ）．

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的零点与方程根的关系的相关知识，掌握二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．