Question

①求函数y=

3 x-1

|x+1|+|x-1|

的定义域；
②求函数y=x+

1-2x

的值域；
③求函数y=

2x2-2x+3

x2-x+1

的值域．

Answer 1

分析：①函数是一个分式函数，分母不为零即可，考查分母即可得出定义域；
②由于函数是一个根式函数，可令

1-2x

=t进行换元，将根式函数变为二次函数，利用二次函数性质求值域；
③由函数的形式，可等式两边同乘以分母，将函数值y看作常数，由此可转化出一元二次方程，此方程有根，其判别式大于等于0，由此即可得到关于y的不等式，解不等式即可得到函数的值域．

解答：解：①．因为|x+1|+|x-1|的函数值一定大于0，且x-1无论取什么数三次方根一定有意义，故其值域为R；
②．令

1-2x

=t，t≥0，x=

1

2

(1-t2)，原式等于

1

2

(1-t2)+t=-

1

2

(t-1)2+1，故y≤1．
③．把原式化为以x为未知数的方程（y-2）x²-（y-2）x+y-3=0，
当y≠2时，△=（y-2）²-4（y-2）（y-3）≥0，得2＜y≤

10

3

；
当y=2时，方程无解；所以函数的值域为(2，

10

3

]．

点评：本题考查函数的定义域与值域，解答的关键是掌握住定义域时常用的一些限制条件如分母不为零、偶次根号下非负等，第二小题求值域用到了换元法，将求函数值域的问题转化为常见函数的值域，降低了题目难度，第三题用到了判别式法求值域，这是二次型分式常用的求值域的技巧，要注意总结其使用的规则．