Question

如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.
（1）求二面角的的余弦值；
（2）求点到面的距离.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：此题可用向量法来求解.（1）由题意易知，则在平面内过点作交于点，分别以、、为轴，为原点建立空间直角坐标系，找出相应点的坐标，由直线与直线所成角为，求出点的坐标，从而可确定点的坐标，由平面内向量、可求得平面平面的法向量，平面法向量为，根据向量的数量积公式，可求出向量与夹角的余弦值，从而求出所求二面角的余弦值；（2）先求出平面的法向量，又点在平面内，可求出向量的坐标，由点到平面的向量计算公式可求得点到平面的距离.
试题解析：（1）∵∴．
在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）

由题意有，设，
则
由直线与直线所成的解为，得，
即，解得
∴，设平面的一个法向量为，
则，取，得，平面的法向量取为
设与所成的角为，则．
显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．   5分
（2），，，，．
设平面的一个法向量，则，
取，得，则点到平面的距离．     10分