Question

已知圆C：x²+（y-2）²=5，直线l：mx-y+1=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；（2）若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）利用直线l：mx-y+1=0经过定点D（0，1），而定点（0，1）在圆的内部，从而证明结论成立．
（2）设中点M的坐标为（x，y），由AB⊥OM  可得 m=

x

2-y

，直角三角形DCM 中，利用勾股定理求得点M的轨迹方程．

解答：解：（1）证明：∵直线l：mx-y+1=0经过定点D（0，1），
点D到圆心（0，2）的距离等于1 小于圆的半径

5

，
故定点（0，1）在圆的内部，故直线l与圆C总有两个不同交点．
（2）设中点M的坐标为（x，y），则由直线和圆相交的性质可得AB⊥CM，
∴k_CM=-

1

KAB

=

-1

m

，

y-2

x-0

=

-1

m

，∴m=

x

2-y

．
由于定点D（0，1）、圆心C、点M 构成直角三角形，由勾股定理得
CM²+DM²=CD²，∴x²+（y-2）²+x²+（y-1）²=（2-1）²，
2x²+2y²-6y+4=0，即   x²+(y-

3

2

)2=

1

4

．此圆在圆C：x²+（y-2）²=5 的内部，
故点M的轨迹方程为   x²+(y-

3

2

)2=

1

4

．

点评：本题考查直线过定点问题，点和圆、直线和圆的位置关系，两直线垂直的性质以及勾股定理的应用．