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    |AB|=|xA-xB|表示数轴上A，B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算．这样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p（x，y）叫做x，y之间的距离：条件一，非负性p（x，y）≥0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p（x，y）=p（y，x）；条件三，三角不等式p（x，z）≤p（x，y）+p（y，z）．
    试确定运算s(x，y)=
    |x-y|1+|x-y|
    是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例．
    分析：要说明s（x，y）是否为距离，只要验证它是否满足三条即可．即满足条件一，非负性p（x，y）≥0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p（x，y）=p（y，x）；条件三，三角不等式p（x，z）≤p（x，y）+p（y，z）．
    解答：解：①s(x，y)=
    |x-y|
    1+|x-y|
    ≥0    等号成立当且仅当|x-y|=0，即x=y，第一条满足
    ②s（x，y）=
    |x-y|
    1+|x-y|
    =
    |y-x|
    1+|y-x|
    =s（y，x），第二条也满足
    ③s（x，z）=
    |x-z|
    1+|x-z|

    ∵函数f（x）=
    x
    1+x
    =1-
    1
    1+x
    （或
    1
    1
    x
    +1
    ）在（0，+∞）上单调增，且|x-z|≤|x-y|+|y-z|
    ∴s（x，z）≤
    |x-y|+|y-z|
    1+|x-y|+|y-z|
    =
    |x-y|
    1+|x-y|+|y-z|
    +
    |y-z|
    1+|x-y|+|y-z|

    ≤
    |x-y|
    1+|x-y|
    +
    |y-z|
    1+|y-z|
    =s（x，y）+s（y，z），第三条也满足．
    总之，s（x，y）是距离．
    点评：本小题主要考查函数单调性的应用、综合法与分析法、绝对值不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
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                                        （    ）

        A．(a，b)∪(c，d)           B．(a，c)∪(b，d)

        C．(a，d)∪(b，c)           D．(c，a)∪(d，b)

     

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